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極座標系(きょくざひょうけい, Polar coordinates system) とは、n 次元ユークリッド空間 Rⁿ に定義され、1 個の動径 r 及び n-1 個の偏角 θ₁,…,θ_n-1 からなる座標系のことである。S = (0,0,x₃,…,x_n) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S に関してはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、点 S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。

いろいろな極座標とその拡張

円座標(Circular Polar Coordinates)

2 次元ユークリッド空間 R² に於ける極座標。1 個の動径 r と 1 個の偏角 θ によってなり、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面ともいう。特異点は (r,θ) = (0,θ) 即ち、xy座標での原点 (x,y) = (0,0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = re^iθ と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。

• 変換

$\{x\; \backslash choose\; y\}\; =\; \{r\backslash cos\backslash theta\; \backslash choose\; r\backslash sin\backslash theta\},\; \backslash quad$

{r \choose \theta} = {\sqrt{x^2+y^2} \choose \theta_{x, y}}

ただし、θ_{x, y}は

なる実数

円柱座標(Cylindrical Polar Coordinates)

円座標で (0,0) を除く xy 平面上の全ての点を表現できるから、これに z 軸を加えれば、xyz 空間が表現できる。これを円柱座標と言う。円柱座標空間上 (rθz 空間上ともいう) で、θ,z を限定しなければ、これは xyz 空間上で円柱を描く。
また、円柱座標空間上の特異点は z 軸上の全ての点である。

• 変換

$$

\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}r\cos\theta\\r\sin\theta\\z\end{pmatrix}, \quad
\begin{pmatrix}r\\\theta\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sqrt{x^2+y^2}\\\theta_{x, y}\\z\end{pmatrix}

ただし、θ_{x, y}は

なる実数

球座標 (Spherical Polar Coordinates)

3 次元ユークリッド空間 R³ における極座標。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ,φ によってなる（図を参照）。球座標において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、xyz 空間上で球を描く。直交座標と球座標の間の変換は次の式で与えられる。

$\backslash begin\{pmatrix\}x\backslash \backslash y\backslash \backslash z\backslash end\{pmatrix\}\; =\; \backslash begin\{pmatrix\}r\backslash sin\backslash theta\backslash cos\backslash varphi\backslash \backslash r\backslash sin\backslash theta\backslash sin\backslash varphi\backslash \backslash r\backslash cos\backslash theta\backslash end\{pmatrix\},\backslash$

\begin{pmatrix}r\\\theta\\\varphi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\\theta_{x, y, z}\\\varphi_{x, y}\end{pmatrix}
ただし、θ_{x, y, z} と φ_{x, y} はそれぞれ

$\backslash cos\backslash theta\_\{x,y,z\}=\backslash frac\{z\}\{\backslash sqrt\{x^2+y^2+z^2\}\}\; \backslash \; (0\; \backslash leq\; \backslash theta\_\{x,\; y,\; z\}\; \backslash leq\; \backslash pi),$

を満たす実数。z 軸上の点はこの変換の特異点であって、偏角が定まらない。

積分への応用

極座標平面での長方形は、直交座標に於ける扇形の一部となる。特に θ の長さが 2π であれば、直交座標に於いては円の一部となる。r を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、r×θ = [0,∞)×[0,2π) に等しい。以上のことは広義二重積分に於いて有用である。なぜなら上記から、

$\backslash int^\{\backslash infin\}\_\{-\backslash infin\}\backslash int^\{\backslash infin\}\_\{-\backslash infin\}f(x,y)dxdy\; =\; \backslash int^\{2\backslash pi\}\_\{0\}\backslash int^\{\backslash infin\}\_\{0\}f(r\backslash cos\; \backslash theta,r\backslash sin\; \backslash theta)rdrd\backslash theta$

が導けるからである。この公式は、例えば次のように用いられる。

$\backslash int^\{\backslash infin\}\_\{-\backslash infin\}\backslash int^\{\backslash infin\}\_\{-\backslash infin\}e^\{-(x^2+y^2)\}dxdy\; =\; \backslash int^\{2\backslash pi\}\_\{0\}\backslash int^\{\backslash infin\}\_\{0\}e^\{-r^2\}rdrd\backslash theta$

左辺の積分は、このままの状態で解くのは非常に困難だが、右辺の形にすれば、変数変換 r² → r によって、

$\backslash int^\{2\backslash pi\}\_\{0\}\backslash int^\{\backslash infin\}\_\{0\}e^\{-r^2\}rdrd\backslash theta\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash int^\{2\backslash pi\}\_\{0\}\backslash int^\{\backslash infin\}\_\{0\}e^\{-r\}drd\backslash theta$

と出来るから、あとは通常の二重積分の方法に従って簡単に解け、答えは π となる。

関連項目

• 直交座標系

• 斜交座標系

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